數學專題


本網頁提供的連結為本人對某些數學專題的學習筆記或研究心得。

數學軟件及遊戲

電腦的發明為數學學習及研究提供了廣闊的應用前景。以下是筆者以往學習過及研究過的數學專題,筆者曾就這些專題編寫電腦程式,現透過互聯網公諸於世,與廣大瀏覽者分享交流。


點算的奧秘

點算(Counting)是每個人在孩提時代便開始學習的技巧,有誰不懂得數1、2、3 ...?但我們有否想過,點算其實可以發展為一門學問,甚至成為「組合數學」(Combinatorics)的一個重要分支-「點算組合學」(Enumerative Combinatorics,亦作「計數組合學」)。一個個的去數固然是再容易不過的事,但也是最沒有效率的點算方法,它只能解決數目不大的問題。對於涉及較大數目的問題,我們就不能再這樣列出具體的事物然後一個個的去數,而必須訴諸抽象的數學推理,這就是「點算組合學」的價值所在。

「點算組合學」是本人喜愛的數學分支之一,本專題將以循序漸進,由淺入深的方式介紹「點算組合學」的基本知識和解題技巧。由於本人學識有限,本專題只擬介紹該學科最基礎的知識,包括「排列和組合」、「容斥原理」、「母函數」、「遞歸關係」等題目。

本專題旨在介紹筆者所認識的「點算組合學」的有趣知識,因此著重對該學科最基礎定理的直觀理解,而無意包羅該學科的所有定理,亦無意進行嚴謹的數學推導。讀者如欲對該學科有更深入的認識,可參閱相關的教科書。以下是本專題的目錄。

  1. 乘法原理和加法原理
  2. 排列和組合基本公式
  3. 無限重覆的排列組合問題
  4. 有限重覆的排列組合問題
  5. 二項式定理和多項式定理
  6. 容斥原理基本公式
  7. 帶上、下限的排列組合問題
  8. 廣義容斥原理
  9. 含不動點或繼續點的排列問題
  10. 集合劃分問題
  11. 分配問題
  12. 普通母函數
  13. 指數母函數
  14. 列舉型母函數
  15. 整數分割問題
  16. 費雷爾斯圖
  17. 二元母函數
  18. 集合劃分問題的母函數
  19. 帶複雜條件的集合劃分問題
  20. 著色問題的基礎知識
  21. 伯恩賽德-波利亞定理
  22. 著色方案的母函數
  23. 對稱群的循環式
  24. 著色問題的推廣應用
  25. 點算問題的遞歸關係
  26. 齊次遞歸關係的解
  27. 非齊次遞歸關係的解
  28. 含複數解的遞歸關係
  29. 遞歸關係的母函數解題法

參考資料


群論與魔方

「魔方」(Rubik's Cube,有些人直譯作「魯比克立方體」,在香港又稱「扭計骰」)是筆者中學時代風靡一時的智力玩具,至今仍是十分暢銷的玩具。筆者當年沒有學懂如何破解(又稱還原)魔方,直至2009年在外遊時買了一個2 × 2 × 2魔方作為手信送給我當時未滿四歲的兒子,為了教他玩,才開始認真學習破解魔方的攻略。學懂破解之道後,便開始探尋這些攻略背後的原理,獲得了一些心得,這些心得(包括2 × 2 × 2魔方的攻略以及對其背後原理的解釋)現載於本人的網誌中(見《三步破解2×2×2扭計骰(魔方)》《2×2×2扭計骰(魔方)攻略揭秘(上)(中)(下))。

魔方與抽象代數學中的「群論」(Group Theory)存在密切關係。不過由於2 × 2 × 2魔方較為簡單,無需使用很多群論的知識,所以上述網誌中的文章沒有闡述這種關係。完成上述網誌後,我便開始嘗試把以往學得的群論知識應用於3 × 3 × 3魔方,終於弄明白了3 × 3 × 3魔方攻略中每一步背後的數學原理,並發覺可以把原理推廣至其他魔方,魔方遂成為繼Mastermind之後我最感興趣的智力遊戲。本專題旨在介紹群論與魔方的密切關係,特別著重介紹如何用群論的知識解釋破解魔方的攻略和各種魔方花式,以下是本專題的目錄。

  1. 魔方的基本概念
  2. 群論基礎知識
  3. 排列的表示法與運算
  4. 魔方操作的表示與運算
  5. Dan Knights攻略解析(上)
  6. Dan Knights攻略解析(下)
  7. 魔方花式(上)
  8. 魔方花式(下)
  9. 二階魔方及其還原攻略
  10. 高階魔方的結構與操作
  11. 高階魔方的性質與公式
  12. 五階魔方及其還原攻略
  13. 四階魔方及其還原攻略
  14. 更高階魔方的還原攻略

參考資料及網頁


珠算解難

珠算是中國的「國粹」。在沒有計數機和電腦的時代,算盤是非常了不起的計算工具。根據資料,算盤不僅可用來進行基本的整數四則運算,還可用來進行開方、分數四則運算、求最大公約數、求最小公倍數,乃至某些「數論」、「方程式論」和「線性代數」中的運算,例如求連分數、解不定方程、同餘式、綜合除法、因式分解、矩陣運算、解線性方程組等。

在今天這個「電腦時代」,這項「國粹」已日漸被遺忘。即使是學過珠算的人,大多也只懂得最基本的加、減和乘法,而不懂除法(尤其是傳統的「歸除法」),更遑論開方等更複雜的運算了。本專題的目的是介紹珠算中一些較難也較少人認識的傳統運算方法,以除法為主,旁及開方。至於與「數論」、「方程式論」和「線性代數」有關的運算技巧,這些一般都是以珠算結合近現代數學知識的結果,已超出「傳統」的範疇,故不在本專題涵蓋範圍內。以下是本專題的目錄。

  1. 珠算的加、減、乘法
  2. 九歸歌與單歸法
  3. 歸除法
  4. 退商法
  5. 撞歸法
  6. 商除法
  7. 珠算開平方
  8. 珠算開立方
  9. 珠算開高次方

參考資料


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