學數的苦與樂


學數之苦

看數學書跟看小說或其他消閒書籍不同,不能「隨隨便便」地讀,因為讀數學書必須理解,不僅是對前文後理 的理解,而且是對書中的演算或證明每一步的理解。因此讀數學書就像跟作者一起在做運算,有時心算算不了 還要拿紙筆出來進行筆算。有些人也許採用實用主義的觀點,認為看數學書只需明白有關公式、定理的意義和 用途,而不必深究這些公式、定理是如何推導出來的,因而可以跳過這些證明不看。

這種觀點對於初學數學的人或者不打算深入了解有關公式、定理的人來說或許是正確的,但如果你希望對這些 公式、定理有進一步的了解,那就不能不看證明了。事實上,證明往往就是整本數學書的精粹。假如你翻開一 本典型的數學教科書,你會發現這本教科書的大部分篇幅都是由定理(Theorem)(註1)的證明構成的。讀數學書 就是看(理解)這一條條定理的證明,有些定理的證明還長達數頁,有時由於看不懂證明的某一步驟是如何推導 的,往往須花費很長時間苦思冥想,所以看數學書絕不是「消閒」的活動,而是頗費神的。

有些人或許認為數學教科書既然是由數學家寫的,我們大可相信他們的證明沒有錯誤,因而無需仔細看證明的 每一步,此說其實未必盡然。首先,看證明的目的是為了深入了解某定理與其他定理或定義的邏輯依存關係, 如果只是隨便地看看證明而不細心理解其理據,那麼有關內容只是過眼雲煙,看了還是未完全理解其意義。其 次,看證明往往就是鍛煉邏輯推理和數學運算技巧的機會,不僅能提高我們的推理和運算能力,而且還能增強 自信心,使自己不再懼怕繁瑣的算式。第三,定理的證明常常須用上先前已證明的定理或甚至其他數學學科的 知識(假設這些知識已成為讀者的常識),因此看證明就是溫習這些舊知識的機會。我們決不可輕看溫習舊知識 對學習數學的重要性。在某程度上,學數其實是一個「浸」的過程。我們常常看到這樣一個現象,某些新概念 在初接觸時覺得甚難理解,但當我們多接觸這些概念幾次,就會開始覺得這些概念其實並不那麼陌生。假以時 日,甚至會成為我們常識的一部分。總上所述,看證明有時是一種痛苦但又必要的過程。

學數之苦不僅在於看數學書的費勁,還在於學數往往不能一蹴而就,而須一點一滴累積。我對某些抽象數學概 念的理解(例如流形Manifold、微分形式Differential Form、線性泛函Linear Functional等)常常是經過斷斷 續續看不同的書,從不同角度討論同一個概念而一點一滴累積的。有時在看了第一本討論這概念的書後以為自 己明了,但很快便會忘記,需要再看第二本、第三本才能慢慢領略其真諦。因此可以說,看數學書甚少是可以 全本都看得明的,而知識的增長不是直線上升,而是呈螺旋式上升。數學知識的每一步增長都要經過艱苦的努 力,其中還夾雜不知多少失望、沮喪和惶恐。

數學書之難讀不在於算式之繁,而在於某些數學概念之抽象。其實算式一般是具體易明的,即使很繁,只要多 點耐性,終究也能應付得來。但如果概念十分抽象而書本中又缺乏實例,那就真教人丈八金剛摸不著頭腦。例 如對於很多人來說,在平面上理解立體圖形便是一件很痛苦的事。但其實這已不算十分困難,因為立體(即三 維空間)終究是我們日常生活於其中的空間,是我們所熟悉的。某些數學學科(例如拓樸學Topology)所研究的 常常是三維以上的空間或圖形,根本無法畫出來,那就更難理解了。例如在拓樸學中便有兩個著名圖形(克萊 因瓶Klein Bottle和射影平面Projective Plane)是超出三維空間的。在理解這些圖形時,根本沒有現實世界 中的實例,只能通過想像和借助類比方法抽象地理解。如果四維空間還可以透過跟三維空間類比去理解,那麼 微分拓樸(Differential Topology)中的「七維怪球面」便真的只能靠艱苦的推理了。

數學的抽象性往往還不是一層的抽象,更常常是多層的抽象。就以抽象代數(Abstract Algebra)為例,它所研 究的群(Group)、環(Ring)、域(Field,有些書譯作「體」)、模(Module)、格(Lattice)、布爾代數(Boolean Algebra)等本身便是抽象的。所謂「抽象」(Abstraction),就是抓著一些對象的共同點加以整體研究,而撇 除這些對象的個別特點。例如實數(Real Number)、複數(Complex Number)、向量(Vector)、矩陣(Matrix)等 本來是各有不同特點的集合(Set),但是它們在加法運算上卻有相同之處,即加法在這些集合上滿足封閉性 (Closure)、結合性(Associativity),存在單位元(Identity)和逆元(Inverse),於是我們便可以把這種共同 點抽象出來,把具有上述四種特性的集合及有關運算統稱為「群」,進行綜合研究。這可以稱為第一層的抽 象。

可是抽象代數學並不滿足於只是把各種不同集合及其運算抽象成「群」,而是進而研究不同群之間的關係,並 引出「同態」(Homomorphism)和「同構」(Isomorphism)的概念。同態和同構就是不同群之間的一種函數關係, 在抽象程度上比群的運算更高一級。而新近發展起來的範疇論(Category Theory)更以集合與集合之間的函數 關係重新釐定數學的基礎,並且引出範疇(Category)、函子(Functor)、自然變換(Natural Transformation) 等概念,而且這些概念一個比一個抽象。數學的抽象程度似乎是永無止境的。

不僅數學概念是抽象的,數學的證明方法也是抽象的,這是因為數學證明是基於純粹的邏輯思維,即從給定的 前提和已有的概念、定理出發,根據正確的推理規則推出結果。在這過程中,最重要的是推理規則,至於前提 正確與否反倒是次要的。此一情況在反證法(Proof by Contradiction)中最為明顯。反證法的證明方法是首先 假設待證的結論是錯的(即假設結論的否定是正確的),然後嘗試由此推導出矛盾,矛盾的存在證明最初的假設 (即待證結論的否定)是不正確的,由此便間接證明了待證結論。從反證法的原理可以看到,數學的推理是純形 式的,即數學家在推理時只注意使用正確的推理規則,而不必考慮前提是否正確。因此,數學家不僅要懂得如 何從正確的前提推出正確的結論,也要懂得如何從錯誤的前提出發,在推理中發現矛盾,從而證明前提是錯誤 的。這不能不說是對思維的頗高要求。

造成數學抽象性的另一個原因是數學研究的對象往往是無限的,而人的經驗卻是有限的。以有限的經驗嘗試理 解無限的事物,常會有「以偏概全」或「掛一漏萬」的弊端。因此數學使用演繹法(Deduction)而非歸納法 (Induction)(註2),因為只有演繹法才能保證推理的結論在無限的情況下是正確的(註3)。數學上的演繹證明 常常採用這樣的形式:假設一個具有某些性質的一般個體(變量variable),然後根據此個體的性質進行推理。 例如,在證明某關於偶數的命題時,首先假設一個偶數變量x,由於x是偶數,故可把它表達為2n,其中n為任 意整數。在證明過程中我們所著眼的由始至終均應是這個一般的x=2n,而不是任何一個具體的偶數(如2、4、6 等)。換言之,我們撇除了2、4、6這些數的個別特點,而只著眼於這些數的共同點(即它們都可以表達為2n)。

可是學數的人不能總是抽象地考慮一般的對象,因為一般的對象有時會過於抽象而難以理解。事實上,學數的 人在理解一個新命題或面對一個新問題時,常須使用「特殊化」(Specialization)的手段,即把一般的對象換 成具體的特例以幫助理解。例如,在初接觸「偶數和奇數的積是偶數」此一命題時,如果覺得很抽象難明,可 以先把命題中的「偶數」和「奇數」換成6和3這兩個具體數字,然後求其積得18,證實6和3的積的確是偶數。 又例如在證明幾何題時,常常需要借助畫圖幫助思考,畫圖也是特殊化的方法。可是特殊化有時會令學數的人 誤把一些非本質的屬性帶入思考中,從而導致錯誤理解或錯誤解題。因此,學數的人在特殊化時必須小心分清 在他們所選的特例中哪些性質是本質的,哪些並非本質的,這正是難點之所在。

最後我想把學習數學比作登山,當你還身處山腳並向上望時,只見山峰處被濃濃的雲霧遮蓋著,以為這座山就 那麼高,心想只要走到那裡便已到達頗高境界。但當你穿過濃霧,正要沾沾自喜之際,抬頭一看,卻赫然發現 眼前竟又出現多個高峰,原來剛才只是因為眼界被濃霧遮蔽,看不見雄偉的山勢;當穿過雲霧後,才發現原來 前面的路還多著呢。學數也是這樣,每當你經過一番努力,以為已經攀登了一個「高峰」時,才發現前面原來 還有很多個高峰。而且越往上走,所發現的高峰便越多。有時面對眼前雄偉壯觀的景象,心想恐怕這一輩子也 難以攀上其中一個,真有點望「峰」興嘆之感。

學數之樂

講了這麼多學數之苦,似乎學習數學是苦不堪言的,那麼為何仍要孜孜不倦地去追求這方面的學問呢?原因是 經過我們在經過一番艱苦努力後,終會獲得甜美的果實。數學雖然是高度抽象的,但它又是具有高度規律性 的。數學的這種規律性乃來自其邏輯性和形式化的表達方法。所謂形式化(Formalization),是指使用嚴格定 義的符號系統,遵循嚴格定義的規則進行運算或推理,因此數學的最大特徵就是大量使用符號。形式化的好處 是使定義更加明確,令運算和推理過程更加清晰,使含混其詞或偷換概念等邏輯謬誤較容易被發現。事實上, 數學家兼哲學家萊布尼茲(Leibniz)曾經指出,哲學上的諸多爭論是由於人類的語言不夠嚴格,如果能夠發明 一種高度形式化的語言,便可消弭各種不必要的爭論。雖然萊布尼茲的設想未必正確,至今也沒有實現,但他 的確道出了數學形式化的優越性。因此,跟其他學科比較,數學的知識是十分實在的,沒有爭論的餘地,也不 容許含混其詞或偷換概念(註4)。

由於數學思維是邏輯思維,因此學數就是鍛煉邏輯思維的最佳方法。思考的過程有時是艱苦的,但在經過艱苦 努力後總會有一些成果,這些成果不僅是智慧的增長,有時更是一種滿足感或者豁然開朗的頓悟感覺。而有時 錯誤更會令我們學習到更多東西。我就曾經面對一條題目,苦思了兩天後還差一點點未能完全解通。在次晨起 床後靜靜回顧這條題目時,突然發現自己原來錯誤理解了題目的某一部分。經糾正後,一切便變得明白了,原 來的問題也完全解通了,心中有一種莫名的喜悅和頓悟的感覺。事實上,由於我最初錯誤理解題目,才會令我 花這麼多時間十分細緻地思考這條題目的各個方面。可以說,這錯誤雖然耗費了我很多時間,但卻令我學習了 更多東西。

數學的規律性和邏輯性不僅展現了人類智慧之光,也是一種美的表現,因此學數除了鍛煉智慧外,還可以欣賞 數學之美。談到數學之美,人們首先想到的是幾何圖形的對稱美。事實上,當代物理學指出對稱性(Symmetry) 是我們宇宙的一種本質屬性,因此對稱性成了今天幾何學研究的其中一個課題。除了傳統的幾何學外,分形幾 何學(Fractal Geometry)是展現幾何圖形美的另一個來源。很粗略地講,如果對稱幾何學展現了宇宙的規則性 和對稱性,那麼分形幾何學則展現了宇宙的另一面-不規則性和混沌性(chaotic)(註5)。不過這種不規則不是 雜亂無章,而是表現為一種「自相似結構」,可以說是亂中有致。事實上,今天有些人正是利用分形幾何學的 理論創作美術圖形。

其實數學美不僅表現在幾何圖形中,即是說數學美不僅是一種視覺美,而且是一種心靈美。學數的人在領會到 數學的規律性、統一性、簡潔性等等優美特性時,心中會有一種莫名的愉悅感,此即數學美之所在。以下通過 一些實例談談我對數學美的體會。

數學的規律性經常表現為其無矛盾性,即數學系統各個分枝的知識是互相協調的。在學數時常會發現一個有趣 的現象,就是同一個問題在使用極不相同的方法求解時都能得到相同的結果。例如著名的「代數學基本定理」 (Fundamental Theorem of Algebra)便有多種證法,分別可從代數學、分析學和拓樸學的角度證明這同一條定 理。有時在求解一個複雜問題時,需要將問題轉化為另一個較易解的問題,最後將答案還原為原問題的解。這 樣的解題方法往往須進行多重轉換,經轉換後的問題根本已變得面目全非,但是只要轉換過程是符合邏輯的, 最後的答案卻仍是正確的。例如在求解某些常微分方程初值問題時,我們可以先利用拉普拉斯變換(Laplace Transform)把原有的微分方程轉化為一個代數方程,然後使用代數方法解這個代數方程,最後用拉普拉斯逆 變換把代數方程的解還原為原微分方程的解。而最令人讚歎的是,使用此方法求得的解是正確的。

造成上述此一現象的其中一個原因是,數學問題或數學現象往往可以從不同數學分枝的角度研究,這些數學分 枝不同表述方式只是表面上的不同,其實質是同一個數學問題。就以含有兩個未知數的聯立方程( Simultaneous Equation)為例。我們知道,含有兩個未知數的聯立方程可以表達為平面上的兩根直線。聯立方 程的解就相當於該兩根直線的交點。在一般情況下,一組聯立方程只有一組解(即唯一解),此現象相當於平面 上的兩條直線在一般情況下只有唯一一個交點。但當聯立方程是矛盾(Inconsistent)(註6)的因而無解時,該 兩條方程在平面上便表現為一對平行線,即沒有交點的兩條直線。而當聯立方程線性相關(Linear Dependent) (註7)因而有無限個解時,該兩條方程在平面上便表現為同一條直線,即兩條直線相交於一條直線,因而直線 上的所有點均為聯立方程的解,故有無限個解。上述這個簡單例子闡明了代數與幾何有密切的關係,而兩者是 互相協調的。

其實上述現象不僅出現在數學的各個分枝之間,還常常出現於數學與其他科學之間。以下舉一個物理學的例 子。在物理學上有一個現象稱為「簡諧振動」(Simple Harmonic Motion),是描述某些循環往複的運動,例如 彈弓的振動在沒有磨擦力或其他外力的情況下便表現為簡諧振動,在你壓一壓彈弓後,彈弓便會時張時合,彈 弓上的每一點在經過一個周期後會返回某個位置,循環不息(註8)。假如我們根據牛頓力學把彈弓上某點的運 動表達為一條微分方程並解該微分方程時,我們會發現該方程的解可以表達為一個正弦函數(Sine Function) ,而正弦函數正好就是一個周期函數(Periodic Function),即函數的值在經過一個周期會變回原來的值(註9 )。我們看到,物理學上的簡諧振動正好對應於微分方程的周期函數解,這是多麼的美妙。此一簡單例子顯 示,數學與物理學是密切相關的。事實上,我們可以說數學的規律性其實來自於大自然的規律性。

其次談談數學的統一性。數學的統一性表現為,一些表面上毫不相干或甚至矛盾的現象常常可以統一在一個 更高的理論框架下。其情況就好像古代的指揮官在指揮軍隊時必須站在較高的位置上才能看清全局。在幾何學 上便有這樣的事例。自從古希臘數學家歐幾里德(Euclid)創立其歐氏幾何(Euclidean Geometry)後,歐氏幾何 一直主宰西方幾何數百年,直至文藝復興時期之後才開始陸續出現其他幾何學,如射影幾何(Projective Geometry)、仿射幾何(Affine Geometry)、相似幾何(Similar Geometry),乃至19世紀出現的非歐幾何(Non- Euclidean Geometry)(註10)等。雖然各種幾何似乎各自獨立,甚至互不相容(例如歐氏幾何與非歐幾何就是互 不相容的),但是在1872年德國數學家克萊因(Klein)發表了著名的《埃爾蘭根綱領》(Erlangen Program),將 各種幾何統一在一個理論框架下。他所用的工具是幾何變換(Geometric Transformation)所組成的「群」( Group),他把幾何學的研究對象確定為在給定變換群下不變的幾何性質,這樣各種幾何的不同之處僅在於它們 所著眼的變換群各有不同。而更重要的是,這些變換群之間是有關連的,例如歐氏幾何變換群是仿射幾何變換 群的子群(Subgroup),而後者又是射影幾何變換群的子群。因此《埃爾蘭根綱領》不僅統一了各種幾何學,而 且還把部分幾何學組織成一個層級(Hierarchy),在這個層級中,射影幾何在仿射幾何之上,而仿射幾何又在 歐氏幾何之上。各種幾何不再是互不相干,而是有結構的,這是多麼的美妙。

數學的統一性還表現在我們推廣(generalize)某些數學概念時,新概念往往能涵蓋舊概念,並且能與舊概念協 調。例如複數(Complex Number)就是實數(Real Number)的推廣,我們可以把複數表達為a+bi的形式,其中a和 b為實數,分別稱為複數的實部(Real Part)和虛部(Imaginary Part),而i則是虛數單位,其定義為-1的平方 根。在這定義中,如果我們取b=0,便會得a,因此實數其實就是虛部等於零的複數,由此可見,實數只不過是 複數的特例。而更重要的是,複數的加、減、乘運算法則跟一般的代數運算法則沒有分別,而它的除法則與根 式有理化(Rationalizaton of Surds)如出一轍,只不過多了一條i2 = -1的法則。如果我們把複數 的四則運算法則套用於實數上,所得結果與實數的四則運算完全一樣,這從另一角度證明實數是複數的特例。

我們再看分析學的例子。在學習一元微積分時,我們都會學到一條微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)。後來在學多元微積分(又稱向量微積分)時,我們會學到各種新的積分,如二重積分、三重積分、 曲線積分(Line Integral)、面積分(Surface Integral)以及更多積分定理,包括格林定理(Green's Theorem )、高斯定理(Gauss' Theorem)和斯托克斯定理(Stokes' Theorem),此外我們也會學到多種微分算子( Differential Operator),如梯度(Gradient)、散度(Divergence)和旋度(Curl)算子。這種種積分、定理和算 子似乎是各有所司,互不相干的。但當我們學了流形分析(Analysis on Manifolds)後,我們便會發現上述各 種積分都可以統一為微分形式(Differential Form)的積分、各種積分定理可以統一為「廣義斯托克斯定理」( Generalized Stokes' Theorem),而各種微分算子都可以統一為微分形式的d算子。換言之,上述各種微積分 理論其實都只是微分形式的微積分理論的特例,在這裡我們再次看到數學統一性的美妙。

其實,除了上述兩例外,數學上的推廣例子實在俯拾皆是,隨便舉一些例子,如橢圓是圓形的推廣;向量 (Vector)是標量(Scalar)的推廣,而張量(Tensor)又是向量的推廣;拓撲學中的拓撲概念是開集(Open Set)概 念的推廣;泛函分析(Functional Analysis)中的範數(Norm)是平面上的點與原點距離概念的推廣;實分析( Real Analysis)中的測度(Measure)是幾何學中長度、面積、體積概念的推廣;泛函分析中的譜(Spectrum)是 線性代數(Linear Algebra)中特徵向量(Eigenvector)概念的推廣;黎曼幾何(Riemannian Geometry)中的度規 (Metric)是平面解析幾何中兩點距離公式的推廣,如似等等。其實不僅概念與概念之間有推廣關係,有時學科 與學科之間也有推廣關係,例如從某一角度去看,線性泛函分析可視為是線性代數推廣到無限維向量(或內積) 空間的理論;同樣,流形分析也可視為是向量微積分推廣到高維歐氏空間或甚至微分流形(Differentiable Manifold)的理論。

曾有一些人這樣比較數學與其他科學,其他科學常常出現後人推翻前人理論的情況,但在數學中則不會出現此 一情況,因為數學理論是由演繹法得來的真理,不可能推翻(除非前人犯了邏輯錯誤),後人只能繼承和推廣前 人的概念和理論。因此學數的人不用擔心他們所學的理論明天會失效(但可能會過時),這就是數學的規律性和 統一性的最佳說明。

最後我要談談數學的簡潔性。數學的簡潔性其實是指其高度概括性,即數學家總喜歡用最簡練的語言表達其思 想。由於符號和公式是最簡練的語言,因此數學家便最愛用符號和公式盡量概括所取得的結果。例如複分析中 著名的歐拉(Euler)公式:e+1=0,恐怕是歷來最為人稱道的數學公式,因為這短短的一條式便 表達了數學中最重要的五個常數0、1、i(虛數單位)、π(圓周率)和e(自然對數的底)之間的關係,這是何等的 精練。

數學的高度概括性不僅在於數學公式的精練,還在於某些定理能以有限的語言概括大量或甚至無限的現象。例 如前述的廣義斯托克斯定理便以一條很簡短的公式概括各種積分定理。又如抽象代數學中的伽羅華理論( Galois Theorem)利用伽羅華群(Galois Group)和自同構(Automorphism)等概念研究多項方程式(Polynomial Equation)的根式(Surd)解,結果發現五次或以上的多項方程式並無一般的根式解,這是多麼高度概括的結 果。再如幾何拓樸學(Geometric Topology)中的「緊致連通曲面(Compact Connected Surface)分類定理」告 訴我們,任何緊致連通曲面在同胚(Homeomorphic)(註11)的意義下均可劃歸以下三類曲面的其中一類:球面( Sphere);圓環(Torus)的連通和(Connected Sum);射影平面(Projective Plane)的連通和。於是形形式式的 緊致連通曲面便被簡單地分為三類,由此可見數學推理的力量。我們甚至可以說,數學就是以有限駕馭無限的 藝術。

或許數學的簡潔性和統一性正是宇宙規律性的反映,與數學有密切關係的物理學同樣追求簡潔性和統一性,而 且亦已取得很多成功。19世紀末麥克斯韋(Maxwell)把電和磁兩種現象統一於他的電磁理論(Electromagnetism ),是一次大成功。到了20世紀,愛恩斯坦企圖建立一種把引力與電磁力統一的「統一場論」,至死沒有成功。 但後繼的物理學家繼續孜孜不倦的努力,企圖最終建立一種能把宇宙四種基本力(引力、電磁力、弱力和強力) 的「萬有理論」(Theory of Everything)。研究當今最尖端的超弦理論(Superstring Theory)的美籍日裔理論 物理學家加來道雄(Michio Kaku)經常說,萬有理論可能是一條只有一英吋長的方程式,但它能統一宇宙的四 種基本力。由此可見,簡潔性和統一性似乎是數學家和物理學家的共同夢想。


註1:有些書不用「定理」這名稱,而稱「命題」(Proposition)。此外有時還有引理Lemma、推論Corollary 等,但其實引理和推論都是定理的一種。

註2:在數學上雖然有一種極重要的證明方法稱為數學歸納法(Mathematical Induction),但數學歸納法的要 旨是假設待證命題S(n)在n=k時成立,然後嘗試據此證明S(n)在n=k+1時也成立,其本質仍是演繹推理。

註3:當然,如果待證結論只涉及有限個對象,那麼理論上使用「完全歸納法」(即窮盡地考察所有對象)也能 得到正確的結論;但是如果對象數目很大,要進行完全歸納法也是極為困難的。

註4:當然,這並不代表所有讀數學的人都不會犯邏輯錯誤,事實上,數學上某些問題由於難度很高,即使數 學家也可能不自覺地犯了邏輯錯誤。數學史上很多錯誤證明便可證明這點。另外,某些數學問題並無固定不變 的解法,不同數學家根據其經驗會認為適宜採用不同的方法,這時便會有爭論的情況出現。例如,在有關數值 分析(Numerical Analysis)的問題上,不同數學家便可能會對使用何種數值方法、採取甚麼樣的初值(Initial Value)、採取甚麼樣的誤差容許度(Tolerance)持不同意見。

註5:分形幾何學是新近發展起來的數學分支,該學科與複分析(Complex Analysis)、微分方程(Differential Equation)、動力系統(Dynamic System)、混沌理論(Chaos Theory)等數學分支均有密切關係。

註6:例如以下聯立方程便是矛盾的:x+y=1;x+y=2,我們不可能找到x和y的值同時滿足這兩條方程。

註7:當其中一條方程是另一條方程的倍數時,該組聯立方程就是線性相關的。例如以下聯立方程就是線性相 關的:x+y=1;2x+2y=2。這裡其實只有一條方程,因此有無限多個解,例如x=2,y=-1;x=3,y=-2等等都是這 組聯立方程的解。

註8:上述此情況只是在忽略空氣阻力(即一種磨擦力)下才成立。實際上,由於空氣阻力的存在,彈弓的振動 會隨在時間而減弱,並且最終停止。

註9:例如sin(x)這函數便以2π為周期,即sin(x+2π)=sin(x)。

註10:非歐幾何是指不承認歐幾里德第五公設的幾何學,包括羅巴切夫斯基(Lobachevsky)和鮑耶(Bolyai)各 自創立的羅氏幾何,和黎曼(Riemann)創立的黎曼幾何。

註11:粗略地說,兩個曲面是同胚的如果我們可以用擠壓或拉伸等方法(但不容許撕破或戮穿)把其中一個曲面 變為另一個曲面,例如圓形面就與正方形面同胚。