珠算解難:歸除法


上一章介紹的「單歸法」只能進行除數為一位數的除法,當除數為多位數時,便要使用「歸除法」。在學習「歸除法」前,須先了解用直式進行除數為多位數的除法的基本原理。請看用直式計算49383 / 836至小數點後兩位的例子:

跟上一章的情況相似,上面的直式可以分解成以下三個較簡單的除法,49383 / 836的商數就是這三個除法的商數之和,餘數則是最後一個除法的餘數,即49383 / 836 = 59.07..0.48:

以上三個除法的共通點是,先估計一個只包含一位有效數字的盡量大的商數(註1),然後從被除數減去這個商數與除數的乘積,使所得餘數不為負數。以下把上述兩個過程分別稱為「估商」和「減積」。在進行「估商」的過程中,我們要用「九因歌」在心中試算「減積」的結果會否得出負數。

「歸除法」採用相同的原理,也包含「估商」和「減積」的過程。由於珠算有專門的除法口訣「九歸歌」,故可使用「九歸歌」進行「估商」。「歸除法」一名中的「歸」和「除」便分別指「估商」和「減積」的過程。由於「減積」的過程涉及乘積,所以要用到「九因歌」。

以下用49383 / 836為例說明上述計算過程。開始時先把除數836和被除數49383分別佈於算盤左端和右面,由於要計算至小數點後兩位,我們須在代表被除數最末一個數字3的一檔右側預留至少兩個空檔。此外,由於除數是三位數,我們要把「定位點」撥至被除數個位向左數第三檔(即被除數的千位,亦即c檔)的右側,此即我們所求商數的小數點位置,而餘數的小數點位置則在被除數個位(即f檔)右側,如下圖所示(下圖用圓黑點標出餘數小數點所在位置):

「歸除法」是從代表被除數第一位的那一檔開始向右逐檔進行「估商」和「減積」。我們從b檔開始進行「估商」,方法是根據除數的第一位(即8)和b檔上的數字(即4)應用「九歸歌」口訣「八四添作五」,把b檔原有的數字4撥走,並在同一檔加5,如下圖所示:

完成了「估商」(即估計商數的第一位是5)後,接下來我們便要「減積」,即從被除數中減去50 × 836。但剛才使用口訣「八四添作五」時,我們把b檔原有的數字4撥走,這事實上已從原來的被除數49383減去50 × 800 = 40000,所以現在我們只需從被除數的餘下部分9383減去50 × 36。其做法與筆者在《珠算解難:珠算的加、減、乘法》中介紹的方法很相似,也是把多位數乘法分解成可直接用「九因歌」加上補零求積的乘法,所不同者是現在我們要把乘積減去而非把它們加起來(註2)。首先計算5 × 3,得15,把這個積從c、d檔減去,即在c檔減1,d檔減5,如下圖所示(請注意這個運算實質上是從被除數的餘下部分減去50 × 30 = 1500):

接著計算5 × 6,得30,把這個積從d、e檔減去,即在d檔減3,e檔減0,如下圖所示(請注意這個運算實質上是從被除數的餘下部分減去50 × 6 = 300):

至此我們已完成對b檔的「估商」和「減積」過程,從上圖的b至f檔可以看到這個中間計算結果,即我們估得49383 / 836的商數的第一位是5,經「減積」後被除數餘下的部分是7583。

接著處理c檔,首先進行「估商」。根據除數的第一位(即8)和c檔上現有的數字(即7)應用「九歸歌」口訣「八七八十六」,把c檔原有的數字7改為8,並在下一檔(即d檔)加6,如下圖所示(請注意這裡我們要應用d檔上方最頂的算珠,不能進位至c檔,這是因為當前的c檔和d檔是分別用來記錄商數和被除數的餘下部分):

接下來我們要進行「減積」,即從7583減去8 × 836。但跟處理b檔時的情況類似,剛才我們使用口訣「八七八十六」時,其實已從7583減去了8 × 800 = 6400 (註3),所以現在只需從被除數的餘下部分1183減去8 × 36。利用「九因歌」,先計算8 × 3,得24,把這個積從d、e檔減去(這實質上是從被除數的餘下部分減去8 × 30 = 240);接著計算8 × 6,得48,把這個積從e、f檔減去(這實質上是從被除數的餘下部分減去8 × 6 = 48),其結果如下圖所示:

至此我們已完成對c檔的「估商」和「減積」過程,從上圖的b至f檔可以看到這個中間計算結果,即我們估得49383 / 836的商數的首兩位是58,經「減積」後被除數餘下的部分是895。

可是上述「估商」過程把商數的第二位估低了,因為49383 / 836的商數的第二位實際應是9。但這不要緊,因為接著我們要處理d檔,根據除數的第一位(即8)和d檔上現有的數字(即8)應用「九歸歌」口訣「逢八進一」,我們把d檔上的數字8撥走,並在其前一檔(即c檔)加1,這樣便把49383 / 836的商數的第二位調整為9了,如下圖所示:

接下來我們要進行「減積」,即從895減去1 × 836。但剛才使用口訣「逢八進一」時,我們已從895減去1 × 800 = 800,所以現在只需從被除數的餘下部分95減去1 × 36。利用「九因歌」,先計算1 × 3,得3,把這個積從d、e檔減去,即在d檔減0,e檔減3 (這實質上是從被除數的餘下部分減去1 × 30 = 30);接著計算1 × 6,得6,把這個積從e、f檔減去,即在e檔減0,f檔減6 (這實質上是從被除數的餘下部分減去1 × 6 = 6),其結果如下圖所示(註4):

從上圖可見d檔已沒有數字,所以我們已完成對d檔的處理(註5),從上圖的b至f檔可以看到這個中間計算結果,即我們估得49383 / 836的商數的首兩位是59,經「減積」後被除數餘下的部分是59。

接著處理e檔。由於讀者現在應已開始熟悉「歸除法」的步驟,以下簡化敘述。首先進行「估商」,根據除數的第一位(即8)和e檔上現有的數字(即5)應用「九歸歌」口訣「八五六十二」,把e檔原有的數字5改為6,並在下一檔(即f檔)加2。接下來進行「減積」。利用「九因歌」,先計算6 × 3,得18,把這個積從f、g檔減去(這實質上是從被除數的餘下部分減去0.06 × 30 = 1.8);接著計算6 × 6,得36,把這個積從g、h檔減去(這實質上是從被除數的餘下部分減去0.06 × 6 = 0.36),其結果如下圖所示:

至此我們已完成對e檔的處理,從上圖的b至h檔可以看到這個中間計算結果,即我們估得49383 / 836的商數的首四位是59.06,經「減積」後被除數餘下的部分是8.84。

請注意上述「估商」過程把商數的第四位估低了,因為49383 / 836的商數的第四位實際應是7。但接著我們要處理f檔,根據除數的第一位(即8)和f檔上現有的數字(即8)應用「九歸歌」口訣「逢八進一」,我們把f檔上的數字8撥走,並在其前一檔(即e檔)加1,這樣便把49383 / 836的商數的第四位調整為7了。接下來進行「減積」。利用「九因歌」,先計算1 × 3,得3,把這個積從f、g檔減去(這實質上是從被除數的餘下部分減去0.01 × 30 = 0.3);接著計算1 × 6,得6,把這個積從g、h檔減去(這實質上是從被除數的餘下部分減去0.01 × 6 = 0.06),其結果如下圖所示:

從上圖可見f檔已沒有數字,所以我們已完成對f檔的處理。至此我們已計算49383 / 836至小數點後兩位,從上圖可讀出這個計算結果:49383 / 836 = 59.07..0.48,與上述直式除法的計算結果相同。

上述「歸除法」完全適用於除數或被除數含小數位的情況,只須小心確定商數的小數點(即「定位點」)和餘數的小數點位置即可,其具體方法如下:先把除數和被除數佈於算盤上,並把「定位點」撥至代表被除數個位那一檔的右側。若除數大於1且在小數點前有n位數字(n ≥ 1),便把「定位點」向左移n檔的距離;若除數小於1且緊隨小數點後為非零數字,則無須移動「定位點」;若除數小於1且緊隨小數點後有n個(n ≥ 1)連續的0,則把「定位點」向右移n檔的距離。經移動後的「定位點」的位置就是商數的小數點位置。在上述任何一種情況下,餘數的小數點位置都在代表被除數個位那一檔的右側。

舉例說,設我們要求493.83 / 0.00836。我們可以沿用上面計算49383 / 836的算盤,但這次須先把「定位點」撥至代表被除數個位那一檔(即d檔)的右側。由於0.00836小於1且緊隨小數點後有2個連續的0,故應把「定位點」向右移2檔距離至f檔右側,而餘數的小數點位置則在d檔右側,其餘的計算過程跟上面的計算過程完全相同。完成計算後可知493.83 / 0.00836 = 59070..0.0048,如下圖所示:

上面的討論顯示,在使用「歸除法」估商時,如果估得的商數的某個位過小,我們接下來總能使用口訣「逢n進一」把低估了的數字調高。可是,如果估得的商數的某個位過大,上述「歸除法」步驟便無法作出調整。傳統的珠算有專門的算法處理這種情況,稱為「退商法」和「撞歸法」,這將是以下兩章介紹的內容。

註1:上圖三個除法的商數雖然分別為兩位數50、一位數9和小數點後兩位數0.07,但全都只包含一位有效數字。

註2:傳統的珠算為區別普通乘法和「減積」過程中的乘法,特地把「九因歌」略作修改,以專門用於「減積」過程。具體地說,如果「九因歌」中某口訣包含「如」、「得」或「中」字,便把這個字改為「除」字,例如「二二除四」、「二五除一十」、「四五除二十」;如某口訣的格式為「xxx十x」,便在「十」字前加「除」字,例如「四六除二十四」。由於這些口訣在實質上只是「九因歌」的變體,本文不擬把它們當作獨立的口訣。

註3:使用「八七八十六」的過程包含在c檔撥走7 (這相當於減7000),並在d檔加6 (這相當於加600),所以其效果是減6400。

註4:讀者在熟練「歸除法」後,其實可把上述處理c檔和d檔的過程合併進行,即在應用完口訣「八七八十六」後便即應用「逢八進一」,然後才進行「減積」,從7583減去9 × 836,所得結果與上述結果相同,而且所需步驟較少。

註5:請注意如果d檔仍有數字,我們需對餘下的數字進行「估商」和「減積」過程。



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